Название: Интеграл Лебега (часть 1)
Автор: Копанев С.А., Кривякова Э.Н.
Издательство: Изд-во Том. ун-та
Год: 2011
Cтраниц: 236
Формат: pdf
Размер: 11 мб
Язык: русский

Книга посвящена интегралу Лебега. Рассматривается на достаточно высоком уровне абстракции конструкция, основанная на интегральных суммах. Предварительно вводятся и подробно изучаются мера, обобщённая мера и некоторые конкретные меры: мера Лебега, мера Лебега—Стильеса, вероятностная мера. Затем изучаются измеримые отображения и вопросы, связанные со сходимостями последовательностей и рядов измеримых отображений. Рассмотрен интеграл Лебега по обобщённой мере.
Предлагаемая читателю книга состоит из трёх глав. В первой главе рассмотрены системы множеств: полукольцо, кольцо, алгебра, сигма-алгебра, их свойства и соотношения. Дано определение отображения множеств, изучены его свойства (монотонность, ?-аддитивность и др.), дано определение меры ? как неотрицательного, ?-конечного, ?-аддитивного и полного отображения множеств, область определения которого есть ?-алгебра. Доказана теорема Каратеодори о продолжении меры. Достаточно детально рассмотрены мера Лебега, мера Лебега—Стилтьеса, вероятностная мера, обобщённая мера. Во второй главе рассмотрены ?-измеримые отображения, доказаны теоремы об их свойствах, а также изучены свойства последовательности отображений и ряда отображений для различных типов сходимости. В третьей главе введено определение лебегова числа на основе нижней и верхней интегральных сумм Лебега для ?-измеримого ограниченного отображения, доказана теорема существования лебегова числа. Подробно изучены свойства лебегова числа. Определение интеграла Лебега дано для произвольного ?-измеримого отображения (отображение может быть неограниченным, а область определения может иметь бесконечную меру). Приведены примеры построения интеграла Лебега для конкретных отображений. Детально изучены свойства интеграла Лебега. Доказаны теоремы Лебега и Б.Леви о последовательности отображений и интеграле Лебега и соответствующие теоремы для ряда отображений. Дано определение интеграла Лебега по обобщённой мере, изучены его свойства. Проведено сравнение соответствующих свойств интеграла Лебега по мере (неотрицательной) и по обобщённой мере.
Для студентов физико-математических специальностей университетов, а также преподавателей и специалистов по теории меры и интеграла.