Название: Основы аналитической геометрии и линейной алгебры
Автор: Сандаков Е.Б.
Издательство: М.: МИФИ
Год: 2005
Формат: PDF
Страниц: 308
Размер: 14 mb
Язык: русский

Учебное пособие полностью соответствует программе курса " Аналитическая геометрия и линейная алгебра", предусмотренного для технических и экономических вузов с углубленным изучением высшей математики, такими как МИФИ (Московский инженерно-физический институт).
В данном пособии рассматривается большое число примеров, которые способствуют лучшему усвоению студентами данного материала. Кроме того, в конце каждой главы приводится список задач для самостоятельного решения, которые помогут читателю проконтролировать свои знания. В основу данной книги положены пособия [1]-[3] (см. список литературы). Работы [4]-[12] рекомендуются для дополнительного чтения по данному курсу.

Векторная алгебра.
Понятие вектора, Операции сложения и умножения векторов на число и их свойства.
Понятие вектора. Операции сложения и умножения на число.
Основные свойства сложения векторов и умножения их на число.
Теоремы разложения. Линейная зависимость и независимость векторов Коллинеарные и компланарные векторы.
Теоремы разложения векторов.
Линейная зависимость и независимость векторов.
Базис и размерность линейного пространства свободных векторов. Координаты вектора в данном базисе.
Основные определения.
Координатная запись сложения векторов и умножения вектора на число.
Аффинные и декартовые системы координат.
Скалярное произведение векторов.
Проекция вектора на ось и ее свойства.
Определение скалярного произведения и его геометрические свойства.
Алгебраические свойства скалярного произведения.
Свойства модуля вектора и свойства расстояния между векторами.
Координатная запись скалярного произведения.
Векторное и смешанное произведение векторов.
Упорядоченные правые и левые тройки векторов.
Определение векторного произведения двух векторов и его геометрические свойства.
Определение смешанного произведения трех векторов и его геометрические свойства.
Алгебраические свойства векторного произведения.
Алгебраические свойства смешанного произведения.
Координатная запись векторного и смешанного произведения.
Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.
Некоторые задачи аналитической геометрии в пространстве и на плоскости.
Объем тетраэдра.
Площадь треугольника.
Деление отрезка в данном отношении.
Двойное векторное произведение.
Некоторые свойства ОНБ.
Направляющие косинусы вектора.
Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве.
Полярные, цилиндрические и сферические координаты.
Полярные координаты.
Цилиндрические координаты.
Сферические координаты.
Задачи к главе.
Прямые линии и плоскости.
Задание уравнений кривых и поверхностей.
Уравнения линий на плоскости.
Задание поверхностей в пространстве.
Уравнение линий в пространстве.
Алгебраические линии и поверхности.
Прямая на плоскости. Плоскость а пространстве.
Общее уравнение плоскости (прямой).
Расстояние от точки до плоскости (прямой).
Нормированное уравнение плоскости (прямой).
Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
Параметрические уравнения плоскости.
Уравнение прямой в пространстве.
Параметрические уравнения прямой в пространстве (на плоскости).
Каноническое уравнение прямой в пространстве (на плоскости).
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Прямая в пространстве как линия пересечения двух плоскостей.
Основные задачи о прямых и плоскостях.
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Угол между двумя прямыми в пространстве (на плоскости).
Угол между двумя плоскостями.
Угол между прямой и плоскостью.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданной плоскости.
Взаимное расположение прямой и плоскости относительно осей координат.
Пучок прямых (плоскостей).
Задачи к главе.
Линии второго порядка.
Каноническое уравнение эллипса, его свойства и построение.
Каноническое уравнение эллипса.
Свойства эллипса и его построение.
Каноническое уравнение гиперболы, ее свойства и построение.
Каноническое уравнение гиперболы.
Свойства гиперболы и ее построение.
Каноническое уравнение параболы, ее свойства и построение.
Каноническое уравнение параболы.
Свойства параболы и ее построение.
Исследование линий второго порядка, заданных уравнениями общего вида.
Изменение коэффициентов общего уравнения линии второго порядка при параллельном переносе.
Изменение коэффициентов общего уравнения линии второго порядка при повороте системы координат.
Инварианты линии второго порядка.
Упрощение общего уравнения линии второго порядка.
Задачи к главе.
Поверхности второго порядка.
Цилиндрические поверхности.
Конические поверхности.
Поверхности вращения.
Эллипсоиды, гиперболоиды и конусы второго порядка.
Эллипсоид.
Гиперболоиды.
Конусы.
Параболоиды.
Цилиндры второго порядка.
Общее уравнение поверхности второго порядка.
Классификация поверхностей второго порядка.
Задачи к главе.
Матрицы и определители.
Матрицы и действия над ними.
Определители n-го порядка.
Ранг Матрицы.
Обратная матрица.
Задачи к главе.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Общие понятия. Теорема Крамера.
Эквивалентные системы.
Метод Гаусса решения систем.
Теорема Кронекера-Капелли.
Однородные системы.
Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений.
Задачи к главе.
Линейные пространства.
Определение и примеры линейных пространств.
Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.
Изоморфизм линейных пространств.
Линейные подпространства.
Прямая сумма подпространств.
Геометрическая интерпретация множества решений системы линейных алгебраических уравнений.
Задачи к главе.
Вещественные и комплексные (унитарные) евклидовы пространства.
Определение и примеры унитарных пространств.
Неравенство Коши-Буняковского.
Общий вид скалярного произведения в унитарном пространстве.
Ортонормированная система, ортонормированный базис.
Существование ортонормировзнного базиса.
Изоморфизм унитарных пространств.
Ортогональные суммы. Проекции.
Задачи к главе.
Линейные операторы е линейном пространстве.
Понятие линейного оператора и основные операции над ними.
Образ и ядро линейного оператора.
Обратный оператор.
Матрица линейного оператора.
Матрица перехода от одного базиса к другому.
Изменение координат вектора при изменении базиса.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Инвариантное подпространство.
Свойства собственных векторов линейного оператора.
Геометрическая интерпретация собственных векторов и собственных значений оператора А.
Приведение матрицы оператора к диагональному виду.
Практический способ приведения матрицы к диагональному виду.
Задачи к главе.
Билинейные и квадратичные формы.
Линейные формы (функционалы).
Билинейные формы в вещественном пространстве.
Квадратичные формы в вещественном пространстве.
Закон инерции квадратичных форм.
Знакоопределенные, знакопеременные и квазиопределенные квадратичные формы.
Критерий Сильвестра (знакоопределенности квадратичной формы).
Полуторалинейная (билинейная) форма в унитарном (евклидовом) пространстве.
Введение скалярного произведения с помощью полуторалинейной формы.
Представление линейной и полуторалинейной формы в унитарном пространстве.
Задачи к главе.
Сопряженные операторы.
Нормальные, унитарные, самосопряженные операторы.
Понятие сопряженного оператора и его свойства.
Нормальные, самосопряженные, унитарные, ортогональные операторы и их матрицы.
Основная спектральная теорема нормальных операторов.
Связь между нормальными, самосопряженными и унитарными операторами.
Основная спектральная теорема самосопряженных операторов.
Основная спектральная теорема унитарных операторов.
Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду.
Положительно определенные операторы.
Одновременное приведение двух эрмитовых квадратичных форм к каноническому виду.
Приведение матрицы линейного оператора к треугольному виду.
Поверхности второго порядка в n-мерном пространстве.
Классификация поверхностей второго порядка в n-мерном пространстве.
Задачи к главе.
Список литературы.